Função Quadrática

Definição

    

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

    Observação:

  
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

    
Temos:

                    

Observação

  
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real;
• quando  é negativo, não há raiz real.
  
  
  Coordenadas do vértice da parábola

     

  Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 

  Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

  

  
  

  

  Imagem

       

  O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

  1ª - quando a > 0,
  
  
  

  

  a > 0

  

  
  

  2ª quando a < 0,

  

  a < 0

  

  
  
  
  
  

  Construção da Parábola

    

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

  1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
  2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
  3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
  4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
  5. Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

  
  
  
  
  Sinal

     

  Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
      Conforme o sinal do discriminante  = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

  1º -   > 0
     Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

  

  quando a > 0

  y > 0 (x < x₁ ou x > x₂)
  y < 0 x₁ < x < x₂

  
  

  

  
  
  
  

  quando a < 0

  y > 0 x₁ < x < x₂
  y < 0  (x < x₁ ou x > x₂)
  
  
  Ex:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   

         Parábola: formas geométricas no cotidiano

  
  

  
  

  Video: Função Quadrática